Funções
Funções do 1º e 2º grau — as mais cobradas no PREPOM
Conceito de Função
Uma função f: A → B é uma relação em que cada elemento de A tem exatamente um correspondente em B.
💡 Para a prova: Se um valor de x gera dois valores de y → NÃO é função. Teste da reta vertical: se uma reta vertical cruza o gráfico em mais de um ponto → não é função.
Função do 1° Grau (Afim)
f(x) = ax + b
a ≠ 0 · a = coeficiente angular · b = coeficiente linear
| Situação | Resultado | Exemplo |
|---|---|---|
| a > 0 | Crescente | f(x) = 2x + 1 |
| a < 0 | Decrescente | f(x) = -3x + 4 |
| Raiz (zero) | f(x) = 0 → x = -b/a | f(x) = 2x - 4 → x = 2 |
EXEMPLO NAVAL
Um navio consome f(h) = 3h + 20 toneladas de combustível em h horas. Em 10 h: f(10) = 30 + 20 = 50 toneladas.
Função do 2° Grau (Quadrática)
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)
| Elemento | Fórmula | Significado |
|---|---|---|
| Discriminante | Δ = b² - 4ac | Δ>0: 2 zeros; Δ=0: 1 zero; Δ<0: sem zero real |
| Raízes (Bhaskara) | x = (-b ± √Δ) / 2a | zeros da função |
| Vértice x | xv = -b / 2a | ponto de máximo ou mínimo |
| Vértice y | yv = -Δ / 4a | valor máximo (a<0) ou mínimo (a>0) |
| Concavidade | a>0 → ⋃ (min) / a<0 → ⋂ (max) | — |
PASSO A PASSO — BHASKARA
x² - 5x + 6 = 0 → a=1, b=-5, c=6
Δ = 25 - 24 = 1 → √1 = 1
x' = (5+1)/2 = 3 x'' = (5-1)/2 = 2
🎯 Questões de Fixação
QUESTÃO 01
Dada f(x) = 2x - 6, a raiz (valor de x onde f(x) = 0) é:
QUESTÃO 02
O preço de uma embarcação (mil R$) segue p(t) = -2t² + 12t + 20, onde t = anos desde a compra. Qual o preço máximo?
O valor máximo de p(t) é:
QUESTÃO 03
As raízes de x² - 7x + 10 = 0 são:
QUESTÃO 04
Uma função f(x) = ax + b é decrescente. O coeficiente angular satisfaz:
QUESTÃO 05
Dados f(x) = 3x + k e f(2) = 10, determine k.
O valor de k é:
QUESTÃO 06
Para f(x) = x² - 4x + 3, o discriminante Δ é:
Logaritmos e Exponencial
Propriedades e operações com logaritmos — essencial para o PREPOM
Conceito de Logaritmo
logb a = x ↔ bx = a
b = base (b>0, b≠1) · a = logaritmando (a>0) · x = logaritmo
LEITURA
log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8 ✅
log₁₀ 100 = 2 porque 10² = 100 ✅
log₅ 1 = 0 porque 5⁰ = 1 ✅ (log de 1 em qualquer base = 0)
Propriedades Operatórias
| Propriedade | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Log do produto | log(a·b) = log a + log b | log(4·25) = log 100 = 2 |
| Log do quociente | log(a/b) = log a − log b | log(1000/10) = 3-1 = 2 |
| Log da potência | log(aⁿ) = n · log a | log(100³) = 3·2 = 6 |
| Log base = base | logb b = 1 | log₅ 5 = 1 |
| Log de 1 | logb 1 = 0 | log₇ 1 = 0 |
| Mudança de base | logba = log a / log b | log₂ 8 = log 8 / log 2 = 3 |
Atenção: Não existe log de número ≤ 0. Base nunca pode ser negativa ou igual a 1.
Função Logarítmica × Exponencial
Logarítmica: f(x) = logb x
- Domínio: x > 0
- b > 1 → crescente
- 0 < b < 1 → decrescente
- Passa por (1, 0) e (b, 1)
Exponencial: f(x) = bˣ
- Domínio: ℝ (todos os reais)
- b > 1 → crescente
- 0 < b < 1 → decrescente
- Passa sempre por (0, 1)
💡 Logarítmica e exponencial são funções inversas — o gráfico de uma é o reflexo da outra em y = x.
🎯 Questões de Fixação
QUESTÃO 01
O valor de log₂ 32 é:
QUESTÃO 02
Simplificando: log₃ 27 + log₃ (1/9)
QUESTÃO 03
Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule log 6.
log 6 =
QUESTÃO 04
A equação 2ˣ = 64 tem solução:
QUESTÃO 05
Usando a propriedade do produto, log(4·25) =
Trigonometria
Seno, cosseno, tangente e o círculo trigonométrico
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
sen θ = CO/H | cos θ = CA/H | tg θ = CO/CA
CO = cateto oposto · CA = cateto adjacente · H = hipotenusa
💡 Macete SOH-CAH-TOA: Seno=Oposto/Hipotenusa · Cosseno=Adjacente/Hipotenusa · Tangente=Oposto/Adjacente
| Ângulo | seno | cosseno | tangente |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | indefinida |
💡 Macete seno: 0°→0/2, 30°→1/2, 45°→2/2, 60°→3/2, 90°→4/2. Para cosseno: ordem inversa!
Identidade Fundamental e Sinais por Quadrante
sen²θ + cos²θ = 1
| Quadrante | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 1º (0° a 90°) | + | + | + |
| 2º (90° a 180°) | + | - | - |
| 3º (180° a 270°) | - | - | + |
| 4º (270° a 360°) | - | + | - |
💡 Macete: "Todos os Santos Cantam Tudo" — 1º Todos +, 2º Seno +, 3º Tg +, 4º Cos +.
Lei dos Senos e dos Cossenos
Lei dos Senos
a/sen A = b/sen B = c/sen C
Usar quando: ângulo + lado oposto conhecidos.
Lei dos Cossenos
a² = b² + c² - 2bc·cos A
Usar quando: três lados ou dois lados + ângulo incluído.
💡 Se A = 90°: cos 90° = 0 → a² = b² + c² — é o Teorema de Pitágoras! A Lei dos Cossenos é sua generalização.
🎯 Questões de Fixação
QUESTÃO 01
Um farol tem 100 m de altura. Um navio vê o topo com ângulo de elevação de 30°. (tg 30° = √3/3)
A distância horizontal entre navio e farol é:
QUESTÃO 02
Se sen θ = 3/5, qual é cos θ no 1º quadrante?
QUESTÃO 03
Em qual quadrante seno é positivo e cosseno é negativo?
QUESTÃO 04
O valor de sen 60° × cos 30° é:
QUESTÃO 05
Em triângulo retângulo, cateto oposto a 45° mede 6 cm. A hipotenusa é:
Progressões — PA e PG
Sequências, termo geral e soma — frequentes no PREPOM
Progressão Aritmética (PA)
Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante (razão r).
Termo Geral:
aₙ = a₁ + (n-1) · r
Soma dos n primeiros termos:
Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2
| Tipo | Razão r | Exemplo |
|---|---|---|
| Crescente | r > 0 | (2, 5, 8, 11, ...) · r=3 |
| Decrescente | r < 0 | (20, 15, 10, 5, ...) · r=-5 |
| Constante | r = 0 | (7, 7, 7, ...) · r=0 |
EXEMPLO NAVAL — PA
Um navio aumenta 2 nós/hora. Na 1ª hora: 10 nós. Velocidade na 8ª hora?
a₁=10, r=2, n=8 → a₈ = 10 + (8-1)·2 = 10 + 14 = 24 nós
💡 Propriedade: Em toda PA, o termo do meio é a média aritmética dos extremos: (a, b, c) PA → b = (a+c)/2.
Progressão Geométrica (PG)
Em uma PG, o quociente entre termos consecutivos é constante (razão q ≠ 0).
Termo Geral:
aₙ = a₁ · q^(n-1)
Soma dos n primeiros termos (q ≠ 1):
Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1)
EXEMPLO NAVAL — PG
Uma colônia de bactérias no navio dobra a cada hora. Começou com 10. Quantas na 5ª hora?
a₁=10, q=2, n=5 → a₅ = 10 · 2⁴ = 10 · 16 = 160 bactérias
💡 Propriedade: Em toda PG, o termo do meio é a média geométrica dos extremos: (a, b, c) PG → b² = a·c.
PA × PG — Comparação Rápida
| PA | PG | |
|---|---|---|
| Operação entre termos | Adição / subtração | Multiplicação / divisão |
| Razão | r = aₙ - aₙ₋₁ | q = aₙ / aₙ₋₁ |
| Termo geral | a₁ + (n-1)·r | a₁ · q^(n-1) |
| Tipo de crescimento | Linear | Exponencial |
| Exemplo | 2, 5, 8, 11... | 2, 6, 18, 54... |
🎯 Questões de Fixação
QUESTÃO 01
Uma PA começa em 4 e tem razão r = 3. Qual é o 10º termo?
O décimo termo é:
QUESTÃO 02
Soma dos 10 primeiros termos da PA (1, 3, 5, 7, ...).
S₁₀ =
QUESTÃO 03
PG com primeiro termo 3 e razão q = 2. Qual é o 5º termo?
O quinto termo é:
QUESTÃO 04
Os números (4, x, 36) formam uma PG. Qual o valor de x?
x =
QUESTÃO 05
Quantos termos tem a PA (5, 8, 11, ..., 35)?
O número de termos é:
QUESTÃO 06
PG de razão 3 e primeiro termo 2. Qual a soma dos 4 primeiros termos?
S₄ =
Probabilidade e Análise Combinatória
Contagem, permutação, combinação e probabilidade básica
Análise Combinatória
Princípio Fundamental de Contagem (Regra do Produto):
Total = n₁ × n₂ × ... × nₖ
| Conceito | Fórmula | Quando usar |
|---|---|---|
| Permutação simples | Pₙ = n! | Arranjar n elementos, usando todos, ordem importa |
| Arranjo | Aₙ,ₚ = n!/(n-p)! | Escolher p de n, ordem importa |
| Combinação | Cₙ,ₚ = n!/[p!(n-p)!] | Escolher p de n, ordem NÃO importa |
COMO DECIDIR: ARRANJO × COMBINAÇÃO
A ordem importa?
SIM → Arranjo. NÃO → Combinação.
Ex: "Comissão de 3 de um grupo de 8" → ordem não importa → C₈,₃ = 56.
Ex: "Senha de 3 dígitos com 8 opções" → ordem importa → A₈,₃.
💡 n! = n×(n-1)×...×1. 0! = 1. 5! = 120. 4! = 24. 3! = 6. 2! = 2. 1! = 1.
Probabilidade
P(A) = n(A) / n(Ω)
n(A) = casos favoráveis · n(Ω) = total de casos possíveis
| Conceito | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Evento certo | P(A) = 1 | P(tirar número ≥ 1 em dado) = 1 |
| Evento impossível | P(A) = 0 | P(tirar 7 em dado de 6 faces) = 0 |
| Complementar | P(Ā) = 1 - P(A) | P(não chover) = 1 - P(chover) |
| Adição (mutuam. exclusivos) | P(A∪B) = P(A) + P(B) | P(1 ou 2 no dado) = 1/6+1/6 = 1/3 |
| Multiplicação (independentes) | P(A∩B) = P(A)·P(B) | P(cara e cara) = 1/2·1/2 = 1/4 |
Estatística Básica
| Medida | Definição | Exemplo: {3, 5, 5, 7, 10} |
|---|---|---|
| Média aritmética | Soma ÷ quantidade | (3+5+5+7+10)/5 = 6 |
| Mediana | Valor central (dados ordenados) | 3, 5, 5, 7, 10 → mediana = 5 |
| Moda | Valor mais frequente | 5 aparece 2× → moda = 5 |
⚠️ Com quantidade par de dados, mediana = média dos dois centrais. Ex: {2,4,6,8} → (4+6)/2 = 5.
🎯 Questões de Fixação
QUESTÃO 01
Um dado é lançado uma vez. P(número par) =
QUESTÃO 02
De 10 recrutas, 7 passaram na prova física. Um recruta é escolhido aleatoriamente.
P(passou) =
QUESTÃO 03
De quantas formas 3 marinheiros podem ser organizados em fila?
O número de arranjos é:
QUESTÃO 04
Comissão de 2 oficiais formada a partir de um grupo de 5. Quantas comissões diferentes?
C₅,₂ =
QUESTÃO 05
Notas de 5 candidatos: 6, 8, 7, 9, 5. Qual é a média aritmética?
A média é:
QUESTÃO 06
Duas moedas são lançadas. P(ambas cara) =
A probabilidade é:
Vetores e Geometria Analítica
Vetores no plano, produto escalar e retas
Vetores no Plano
Um vetor →v = (a, b) tem módulo |v| = √(a² + b²), direção e sentido.
| Operação | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Módulo | |v| = √(a²+b²) | v=(3,4) → |v| = √25 = 5 |
| Adição | (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) | (2,3)+(1,4) = (3,7) |
| Subtração | (a,b)-(c,d) = (a-c,b-d) | (5,3)-(2,1) = (3,2) |
| Produto escalar | u·v = a·c+b·d | (2,3)·(4,1) = 8+3 = 11 |
| Perpendiculares | u·v = 0 | (1,2)·(-2,1) = -2+2 = 0 ✅ |
💡 Aplicação naval: Vetores representam direção e velocidade de navios. A resultante mostra a direção efetiva sob corrente e vento.
Distância entre Dois Pontos e Equação da Reta
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
EXEMPLO
Distância de A(1,2) a B(5,5): d = √[(5-1)²+(5-2)²] = √[16+9] = √25 = 5
y = ax + b (equação reduzida da reta)
a = coeficiente angular · b = intercepto y
💡 Retas paralelas: a₁ = a₂. Retas perpendiculares: a₁ × a₂ = -1.
🎯 Questões de Fixação
QUESTÃO 01
Um navio parte de A(0,0) e vai até B(6,8). Qual a distância percorrida?
A distância AB é:
QUESTÃO 02
Dado →u = (3, 4). Qual é o módulo de →u?
|u| =
QUESTÃO 03
→u = (2,-1) e →v = (1,2). Calcule o produto escalar →u·→v.
→u·→v =
QUESTÃO 04
Retas r₁: y = 2x+3 e r₂: y = 2x-7. Essas retas são:
QUESTÃO 05
→u = (1,3) e →v = (4,2). Calcule →u + →v.
O vetor resultante é:
Geometria Plana e Espacial
Áreas, volumes e o Teorema de Pitágoras
Geometria Plana — Áreas
| Figura | Fórmula da Área | Obs. |
|---|---|---|
| Quadrado | A = l² | l = lado |
| Retângulo | A = b × h | base × altura |
| Triângulo | A = (b × h) / 2 | base × altura / 2 |
| Losango | A = (D × d) / 2 | D e d = diagonais |
| Trapézio | A = (B+b)·h / 2 | B = base maior |
| Círculo | A = π × r² | r = raio |
| Circunferência | C = 2 × π × r | perímetro do círculo |
Teorema de Pitágoras e Ternas
a² = b² + c²
a = hipotenusa · b, c = catetos
💡 Ternas pitagóricas mais cobradas: (3,4,5) · (5,12,13) · (8,15,17) · (7,24,25) — e múltiplos: (6,8,10), (9,12,15)...
Geometria Espacial — Volumes
| Sólido | Volume | Obs. |
|---|---|---|
| Cubo | V = a³ | a = aresta |
| Paralelepípedo | V = a × b × c | comprimento × largura × altura |
| Cilindro | V = π·r²·h | r = raio da base |
| Cone | V = (π·r²·h) / 3 | 1/3 do cilindro |
| Esfera | V = (4/3)·π·r³ | r = raio |
| Pirâmide | V = (Abase·h) / 3 | 1/3 do prisma |
🎯 Questões de Fixação
QUESTÃO 01
Tanque cilíndrico: raio 3 m, altura 10 m. Volume de combustível? (π ≈ 3,14)
O volume é:
QUESTÃO 02
Terreno triangular: base 12 m, altura 8 m. Qual a área?
A área é:
QUESTÃO 03
Cabo de ancoragem forma triângulo retângulo com catetos 5 m e 12 m. Comprimento do cabo?
A hipotenusa é:
QUESTÃO 04
Pátio circular com raio 7 m. Qual a área? (π ≈ 22/7)
A área é:
QUESTÃO 05
Caixa paralelepípedo: 2m × 3m × 4m. Qual o volume?
O volume é:
Matrizes e Lógica Matemática
Operações com matrizes e raciocínio lógico
Matrizes
Uma matriz m×n tem m linhas e n colunas. Elemento aᵢⱼ: linha i, coluna j.
| Conceito | Regra | Exemplo |
|---|---|---|
| Soma | Mesmo tipo (m×n); soma elemento a elemento | (1+3, 2+4) = (4,6) |
| Mult. por escalar | Multiplica cada elemento | 2×[1,3] = [2,6] |
| Multiplicação A×B | Colunas de A = Linhas de B; linha × coluna | [1,2]×[3;4] = 11 |
| Determinante 2×2 | det = ad - bc | |1 2; 3 4| = 4-6 = -2 |
| Matriz quadrada | m = n | Matrizes 2×2, 3×3... |
| Matriz nula | Todos os elementos = 0 | [0,0;0,0] |
REGRA DE SARRUS — Determinante 3×3
Diagonal principal (↘) = soma. Diagonal secundária (↙) = subtrai.
Det = (a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂) - (a₁₃·a₂₂·a₃₁ + a₁₁·a₂₃·a₃₂ + a₁₂·a₂₁·a₃₃)
Lógica Matemática
| Conectivo | Símbolo | Verdadeiro quando |
|---|---|---|
| Negação (NÃO) | ¬p | p for falso |
| Conjunção (E) | p ∧ q | p E q forem verdadeiros |
| Disjunção (OU) | p ∨ q | pelo menos um for verdadeiro |
| Condicional (SE…ENTÃO) | p → q | exceto quando p=V e q=F |
| Bicondicional (SE E SÓ SE) | p ↔ q | p e q tiverem o mesmo valor lógico |
⚠️ O condicional p → q é falso SOMENTE quando p é verdadeiro e q é falso. Nos outros 3 casos: verdadeiro.
💡 Negação do condicional: ¬(p→q) = p ∧ ¬q (p verdadeiro E q falso).
🎯 Questões de Fixação
QUESTÃO 01
Matrizes A = [2 1; 3 4] e B = [1 0; 2 3]. Calcule c₁₁ de C = A×B.
c₁₁ =
QUESTÃO 02
Calcule o determinante de A = [3 2; 1 4].
det(A) =
QUESTÃO 03
p = "Candidato passou na prova" (V) e q = "Aprovado no CAAQ" (V).
O valor lógico de p → q é:
QUESTÃO 04
p = "O navio está em porto" (F) e q = "A tripulação descansa" (V).
Valor lógico de p ∧ q:
QUESTÃO 05
A negação de "Todos os marinheiros são disciplinados" é:
QUESTÃO 06
Se 3A = [6 9; 12 3], qual é a matriz A?
A =